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florentis (23/09/2014, 14h19)
Introduction
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J'ai recherché l'expression algébrique de la Force trouvée par Ampère
entre éléments de courants. J'en ai tiré quelques considérations.

A) Références préalables
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B) Expression de la Force d'Ampère
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1°/ Expression originelle
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La Force trouvée par Ampère s'écrit :

F = i i' ds ds' ( sin(?) sin(?) cos(?) - ½ cos(?) cos(?) ) / r²

Elle est dirigée sur la droite joignant les deux éléments de courant.

Où :
i est le courant passant dans l'élément de fil de longueur ds
i' est le courant passant dans l'élément de fil de longueur ds'
? est l'angle entre l'élément ds et la droite joignant les deux éléments
ds et ds'
? est l'angle entre l'élément ds' et le vecteur joignant les deux
éléments ds et ds'
? est l'angle entre les deux plans définis par les éléments de longueur
et la droite joignant les deux éléments de longueur.

2°/ Expression en termes vectoriels
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NB :
la composante "½ cos(?) cos(?)" est une force entre courants
colinéaires. Elle fait polémique, donc je ne la traiterais pas ici.

Je me contenterais donc d'exprimer la force :

F = i i' ds ds' sin(?) sin(?) cos(?) / r²

Notations
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Soient :
- u, le vecteur unitaire de l'élément de longueur ds où circule le courant i
- v, le vecteur unitaire de l'élément de longueur ds' où circule le
courant i'
- w, le vecteur unitaire de la droite joignant les éléments de longueur
ds et ds' où circulent les courants i et i'.

Par définition du produit vectoriel :

sin(?) = || u ? w ||
sin(?) = || v ? w ||

? est l'angle entre deux plans :

Le premier, que je noterais P, contient les vecteurs unitaires u et w
Son vecteur normal s'écrit p = u ? w

Le second, que je noterais Q, contient les vecteurs unitaires v et w
Son vecteur normal s'écrit q = v ? w

Aussi, l'angle entre P et Q s'écrit :

p.q (u ? w).(v ? w)
cos(?) = ------------- = ---------------------
||p||.||q|| ||u ? w||.||v ? w||

La Force d'Ampère s'écrit donc :

F = i i' ds ds' sin(?) sin(?) cos(?) w / r²

(u ? w).(v ? w) w
= i i' ds ds' || u ? w ||.|| v ? w || ---------------------- ---
||u ? w||.||v ? w|| r²

w
= i i' ds ds' (u ? w).(v ? w) ---


Puis, si je considère des éléments de longueur ds et ds' vectoriels,
j'obtiens une :

Expression algébrique de la Force d'Ampère :
--------------------------------------------

+--------------------------------------------+
| w |
| F = (i ds ? w).(i' ds' ? w) --- |
| r² |
+--------------------------------------------+

C) Discussion
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Cette force a été remplacée par une force définie par le scientifique
Allemand Hermann Grassmann, qui s'écrit, pour la force la force exercée
par l'élément i' ds' sur l'élément i ds :

i ds ? (i' ds' ? w)
F = ---------------------


1°/ Hésitations Algébriques.
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Grassmann est connu pour avoir par ailleurs inventé le produit
géométrique d'où sera dérivé deux produits distincts

- le produit vectoriel, par Gibbs, en analyse vectorielle.
- le produit extérieur, par Clifford, en algèbre de Clifford.

Ces deux produits dérivés se notent "?" en français.

Mais ils ont une différence algébrique :

le produit vectoriel n'est pas associatif :
(a ? b) ? c =/= a ? (b ? c)

Le produit extérieur est associatif :
(a ? b) ? c = a ? (b ? c)

Et ils ont aussi une différence de signification :

En analyse vectorielle, le volume s'exprime par le produit mixte :
V = a . (b ? c)
En algèbre extérieure, le volume s'exprime par un double produit extérieur :
a ? (b ? c) = Vol * I (I est un pseudo-scalaire de carré -1)

Je me demande donc comment Grassmann pensait-il sa force au XIXème
siècle, c'est-à-dire, quelle est la signification à donner à l'opérateur
"?" ?

Est-ce que Grassmann l'entendait comme un produit vectoriel, ou comme un
produit extérieur ?

Supposons le Volume élémentaire formé par les deux éléments de fil et la
distance qui les sépare :

En algèbre vectorielle, il sera donné par :
dV = ds ds' r [u . (v ? w)] (produit mixte)

En Algèbre extérieur, il sera donné par
I.dV = ds ds' r (u ? v ? w)
où I est l'unité pseudo-scalaire.

2°) La Force de Lorentz, reformulation de la Force de Grassmann :
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À partir de la Force de Grassmann et de la notion de champ de Faraday,
Lorentz semble avoir tiré la partie magnétique de la Force de Lorentz

En définissant :
i' ds' = q' v
i ds = q u

Puis :
u ? w
B = q' -------


La force de Grassmann s'écrit ainsi :

i' ds' ? (i ds ? w) q' v ? (q u ? w)
F' = -------------------- = ------------------ = q' v ? B
r² r²

C'est bien la Force magnétique de Lorentz, sorte de redécoupage de la
force de Grassmann.

Mais celle-ci n'obéit pas au principe entre action et réaction, sans
compter que les vitesses sont censées être comptées par rapport à un
éther fixe, d'où la crise qui a abouti à la relativité.

3°) Reformulation "à la Lorentz" de la Force d'Ampère :
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Tant qu'à faire du redécoupage, on peut s'y livrer avec la Force d'Ampère.

En définissant :
i' ds' = q' v
i ds = q u

Puis :
v ? w
B' = q' -------


On obtient donc :

F = [(q u ? w) . B'] w

Pour être homogène en unité puisque j'avais omis les constantes :

?0
F = ---- * [(q u ? w) . B'] w
4?

Inversement, la force ressentie par la charge q' en mouvement sera,
en définissant
u ? w
B = q --------,


?0
F' = ---- * [(q' v ? w) . B] w
4?

La Force ainsi définie est Newtonienne, c'est-à-dire qu'elle obéit au
principe de l'égalité entre action et réaction.

Conclusion
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La Force d'Ampère a donné de bons résultats et semble équivalente, après
intégration sur un circuit bouclé, à la force de Grassmann pour
l'ensemble des circuits électriques en pratique.

Cela signifie que l'on peut utiliser ces deux forces de manière
interchangeable dans les applications en pratique.

En revanche, pour ce qui concerne la reformulation de la force au moyen
d'une charge mobile et d'un champ, à la Lorentz, on ne réalise pas une
intégration sur une boucle de courant. Il y a donc peut-être un intérêt
à faire cette reformulation avec la force d'Ampère plutôt qu'avec la
force de Grassmann, puisque cela permet alors de respecter le principe
d'égalité entre action et réaction.
florentis (23/09/2014, 18h29)
Correction :

En définissant :
i' ds' = q' v (v : vitesse de la charge q')
i ds = q u (u : vitesse de la charge q)

w, vecteur unitaire qq'/(qq')²
-w, vecteur unitaire q'q/(qq')²

Et les champs magnétiques :

De q' sur q
------------

v ? -w ?0
B' = q' ------- ----
r² 4?

De q sur q'
-----------

u ? w ?0
B = q ------- ----
r² 4?

On obtient donc :

Force de q sur q'
-----------------
F = [(q' v ? w) . B] w

v ? w ?0
= (q u ? w) . q' ------- ---- w
r² 4?

Force de q' sur q
------------------
F' = [(q u ? -w) . B'] (- w)

v ? -w ?0
= (q u ? -w) . q' -------- ---- (- w)
r² 4?

v ? w ?0
= - (q u ? w) . q' ------- ---- w
r² 4?
= - F
florentis (23/09/2014, 19h25)
F_A = K [(u ? w) . (v ? w)] w

voir : identité de Binet-Cauchy


[(u ? w) . (v ? w)] w
= [(u . v) (w . w) - (u . w) (v . w)] w
= [?u? ?v? cos(u,v) - ?u? cos(u,w) ?v? cos(v,w)] w
= ?u? ?v? [cos(u,v) - cos(u,w) cos(v,w)] w

Pour la Force de Lorentz :
F_L = K [v ? (u ? w)]

v ? (u ? w)
= (u . v) w - (u . w) v
= ?u? ?v? cos(u,v) w - ?u? cos(u,w) v

F_A - F_L = K (?u? cos(u,w) v - ?u? ?v? cos (u,w) cos(v,w) w)

La différence entre les deux forces est donc nulle lorsque les vitesses
sont perpendiculaires à la droite qui joint les deux charges (comme par
exemple dans le cas de deux fils infiniment longs et parallèles).
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