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François Guillet (13/01/2020, 11h17)
J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.

Je connais sa somme S et son terme Un.

Je cherche sa raison q et son premier terme U0.

C'est trop gros pour que je vois comment faire, ou c'est que le calcul
n'est pas si simple qu'il n'y parait ?
Samuel DEVULDER (13/01/2020, 11h48)
Le 13/01/2020 à 10:17, François Guillet a écrit :
> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.


Un = U0*q^n

> Je connais sa somme S et son terme Un.


Sn = U0(1-q^(n+1))/(1-q^n).
= S(n-1) + Un

Donc tu connais S(n-1) et S(n).

> Je cherche sa raison q et son premier terme U0.


Appelons r = S(n)/S(n-1)

r = (1-q^(n+1))/(1-q^(n-1))

r - r*q^(n-1) = 1-q^(n+1)

q^(n-1)(q^2 - 1) = 1-r = 1 - S(n)/S(n-1) = 1 - Sn/(Sn - Un)

donc q est solution de
q^(n-1)(q^2 - 1) = Un/(Un-Sn)
==> tu peux trouver q numériquement à partir de Sn et Un.
Ensuite à partir de q, tu peux trouver U0=Un/q^n.

Je ne pense pas qu'il existe de forme close, mais on peut faire des
hypothèses d'approximation:
1) si q>>1, q^2-1 ~ q^2, donc q ~ (Un/(Un-Sn))^(1/(n+1))
2) si q<<1, q^2-1 ~ -1, donc q ~ (Un/(Sn-Un))^(1/(n-1))

Et U0 s'en suit.

sam.
Samuel DEVULDER (13/01/2020, 11h57)
Le 13/01/2020 à 10:48, Samuel DEVULDER a écrit :
> r - r*q^(n-1) = 1-q^(n+1)
> q^(n-1)(q^2 - 1) = 1-r = 1 - S(n)/S(n-1) = 1 - Sn/(Sn - Un)


oops non

q^(n-1)(q^2 - r) = 1-r

> donc q est solution de
>     q^(n-1)(q^2 - 1) = Un/(Un-Sn)


en fait
q^(n-1)(q^2 + Sn/(Un-Sn)) = Un/(Un-Sn)

> ==> tu peux trouver q numériquement à partir de Sn et Un.
> Ensuite à partir de q, tu peux trouver U0=Un/q^n.


ca reste valide.

> Je ne pense pas qu'il existe de forme close, mais on peut faire des
> hypothèses d'approximation:


1) q>>r, alors q^2-r ~ q^2, et q ~ (Un/(Un-Sn))^(1/(n+1))

Celle-la ne change pas.

2) q<<r q^2-r ~ -r et q ~ (1-1/r)^(n-1)
soit q ~ (Un/Sn)^(n-1)

Ca se simplifie.
Olivier Miakinen (13/01/2020, 14h11)
Le 13/01/2020 à 10:48, Samuel DEVULDER répondait à François Guillet :
>> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.

> Un = U0*q^n
>> Je connais sa somme S et son terme Un.

> Sn = U0(1-q^(n+1))/(1-q^n).


Euh... non, c'est (1-q) au dénominateur et pas (1-q^n).

Soit la suite (Vn) définie pour tout n par Vn = Un/U0, et soit T = S/U0.

(Vn) est la suite de premier terme 1 et de raison q, et la somme de ses
termes de 0 à n est T.

On a alors : T = (1-q^(n+1))/(1-q).

Pour trouver q, il faut donc résoudre l'équation polynomiale de
degré n+1 en q :
q^(n+1) - T.q + (T-1) = 0

C'est-à-dire :
q^(n+1) - (S/U0).q + (S/U0-1) = 0
HB (13/01/2020, 15h55)
Bonjour,

>>> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.
>>> Je connais sa somme S et son terme Un.


Je suppose donc que la somme connue S
n'est pas la somme de la série
mais bien la *somme finie* des U_p pour p variant de 0 à n.

S = U_0 * (1 - q^(n+1) ) / (1-q) (1)

D = U_n = U_0 * q^n (2)

Les valeurs "connues" sont donc S et D.

Il y a, pour le moment, trois quantités inconnues : U_0 , q et n.
Avec seulement les deux contraintes (1) et (2),
la solution ne saurait être unique.

Par exemple, si je choisis n = 1 (le plus simple)
j'obtiens
S = U_0 + U_0 * q
et
D = U_0 * q

On a donc

U_0 = S - D
puis
q = D / (S - D)

On comprend bien que la valeur de n est indispensable
pour "trouver" q et U_0.

Toutefois, le message initial n'évoque pas clairement n.
Est-il connu ou pas ???

La nature réelle de la question en dépend !

Cordialement,

HB.
Olivier Miakinen (13/01/2020, 16h09)
Le 13/01/2020 à 13:11, Olivier Miakinen a écrit :
> Soit la suite (Vn) définie pour tout n par Vn = Un/U0, et soit T = S/U0.


Oups ! Désolé, j'ai cru que c'était U0 qui était connue et pas Un.
Cela dit, il est facile de passer de l'un à l'autre en prenant la
suite à l'envers.

Soit la suite (Vm) définie pour 0?m?n par Vm = U_{n-m}/Un et T = S/Un.

(Vm) est la suite de premier terme 1 et de raison 1/q. La suite du
raisonnement est identique en remplaçant q par 1/q dans l'équation
du (n+1)iéme degré.
Olivier Miakinen (13/01/2020, 17h00)
Le 13/01/2020 à 14:55, HB a écrit :
>>>> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.
>>>> Je connais sa somme S et son terme Un.

> Je suppose donc que la somme connue S
> n'est pas la somme de la série
> mais bien la *somme finie* des U_p pour p variant de 0 à n.


C'est bien ce que j'avais supposé, et Samuel aussi.

> S = U_0 * (1 - q^(n+1) ) / (1-q) (1)
> D = U_n = U_0 * q^n (2)
> Les valeurs "connues" sont donc S et D.


Oui.

> Il y a, pour le moment, trois quantités inconnues : U_0 , q et n.


n ? J'ai supposé que cette quantité était connue.

> Avec seulement les deux contraintes (1) et (2),
> la solution ne saurait être unique.


Même en supposant n connu, et sauf nouvelle erreur de ma part, on
arrive à l'équation x^(n+1) - T.x + (T-1) = 0 avec T = S/Un, et
q = 1/x. Il y a donc potentiellement (n+1) solutions dans l'ensemble
des complexes.

En revanche, je me demande si imposer que q (et donc x) soit un réel
strictement positif ne suffirait pas à ce que la solution (si elle
existe) soit unique.
Olivier Miakinen (13/01/2020, 17h10)
Le 13/01/2020 à 16:00, je répondais à HB :
> Même en supposant n connu, et sauf nouvelle erreur de ma part, on
> arrive à l'équation x^(n+1) - T.x + (T-1) = 0 avec T = S/Un, et
> q = 1/x. Il y a donc potentiellement (n+1) solutions dans l'ensemble
> des complexes.


En réalité, on a une équation de degré n et pas de degré n+1, car
c'est la simplification d'écriture (x^(n+1)-1)/(x-1) qui a augmenté
artificiellement le degré en multipliant numérateur et dénominateur
par (x-1) !

L'équation réelle est :
x^n + x^(n-1) + ... + x^2 + x + 1 = T
c'est-à-dire :
x^n + x^(n-1) + ... + x^2 + x + (1-T) = 0

> En revanche, je me demande si imposer que q (et donc x) soit un réel
> strictement positif ne suffirait pas à ce que la solution (si elle
> existe) soit unique.


Tout pareil.
Samuel DEVULDER (13/01/2020, 19h39)
Le 13/01/2020 à 13:11, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 13/01/2020 à 10:48, Samuel DEVULDER répondait à François Guillet :
>>> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.

>> Un = U0*q^n
>>> Je connais sa somme S et son terme Un.

>> Sn = U0(1-q^(n+1))/(1-q^n).

> Euh... non, c'est (1-q) au dénominateur et pas (1-q^n).


Ah mince, je me disais bien que c'était un peu moche cette expression.
Mais le principe est bon, ainsi le fait qu'il n'y ait pas de forme close
sauf en approximant q "grand" et q "petit".

sam.
Samuel DEVULDER (13/01/2020, 20h13)
Le 13/01/2020 à 10:48, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 13/01/2020 à 10:17, François Guillet a écrit :
>> J'ai une suite géométrique de U0 à Un de raison q.

> Un = U0*q^n
>> Je connais sa somme S et son terme Un.

> Sn = U0(1-q^(n+1))/(1-q^n).


corr.
= U0(1-q^(n+1))/(1-q)

(merci Olivier)

>    = S(n-1) + Un
> Donc tu connais S(n-1) et S(n).
>> Je cherche sa raison q et son premier terme U0.

> Appelons r = S(n)/S(n-1)
> r = (1-q^(n+1))/(1-q^(n-1)


corr.

r = (1-q^(n+1))/(1-q^n)

> r - r*q^(n-1) = 1-q^(n+1)


corr.
r - r*q^n = 1 - q^(n+1)

> q^(n-1)(q^2 - 1) = 1-r = 1 - S(n)/S(n-1) = 1 - Sn/(Sn - Un)


corr.
q^n(q-r) = 1 -r

q est donc solution de cette équation polynomiale (rappel: r = Sn/(Sn -
Un) est connu. En comparant l'allure des courbes q^n et (r-1)/(r-q) pour
r>q>1, on constate qu'il n'y a qu'une seule solution dans R+.

Après ca dépends des valeurs numériques que tu as pour r, mais on peut
raisonner asymptotiquement. On a r>1, donc r>q. Si on suppose r>>q,
alors q ~ (1/r - 1)^(1/n), soit

q ~ (Un/Sn)^(1/n)

voilà une belle forme approximative qui me plait car elle est simple et
élégante.

sam.
HB (13/01/2020, 21h08)
Le 13/01/2020 à 16:00, Olivier Miakinen a écrit :
[..]
> En revanche, je me demande si imposer que q (et donc x) soit un réel
> strictement positif ne suffirait pas à ce que la solution (si elle
> existe) soit unique.

On va (quand même) supposer que S et Un sont positifs mais par rapport à
la question initiale, c'est une restriction assez forte...

Si l'on observe la fonction fn qui à x associe x^(n+1) - T.x + (T-1)
on observe immédiatement que
la dérivé est simple : (n+1)x^n - T

posons xn = (T/(n+1))^(1/n)

Mieux vaut donc supposer T>0 (S et Un de même signe)
Si n est impair ... il y a un min unique
fn tend vers +inf en -inf et +inf
Cela décroit jusqu'à xn puis, ensuite ça remonte ;o)

Il *peut* donc y avoir deux solutions situées de part et d'autre de xn

En revanche, si n est pair
fn tend vers -inf en -inf et en tend vers +inf en +inf.

fn croit entre -inf et -xn : max local fn(-xn)
puis décroit jusqu'en xn : min local fn(xn)
puis, enfin croit entre xn et +inf ...

Il *peut* y avoir trois solutions ...

il faut donc trouver des infos sur f(xn) ( et f(-xn) )

J'avoue que le texte brut est assez décourageant pour mener de tels
calculs ;o)

Si je ne me suis pas trompé, je trouvé que fn(xn) < 0
(j'ai utilisé une majoration en passant par ln !!!)

Dans le cas n impair, il y aurait donc deux solutions ...

Si T>1 (c.à.d si S > Un)

fn(0) > 0
et f(xn)<0 avec xn>0
il y a une solution entre 0 et xn
et une autre après xn

Cela fait donc deux solutions positives.

La troisième solution éventuelle (si n pair)
sera une valeur négative ... (cas qu'il faut peut-être ignorer)

voili voilou ... ;o)

HB
HB (13/01/2020, 22h35)
Le 13/01/2020 à 20:08, HB a écrit :
[..]
> La troisième solution éventuelle (si n pair)
> sera une valeur négative ... (cas qu'il faut peut-être ignorer)
> voili voilou ... ;o)


OUPS !
Une des deux solutions positives est égale à 1 ...
.... ne jamais oublier les solutions triviales ;o)

HB
Olivier Miakinen (13/01/2020, 23h20)
Le 13/01/2020 20:08, HB me répondait :
>> [...]
>> Même en supposant n connu, et sauf nouvelle erreur de ma part, on
>> arrive à l'équation x^(n+1) - T.x + (T-1) = 0 avec T = S/Un, et
>> q = 1/x. Il y a donc potentiellement (n+1) solutions dans l'ensemble
>> des complexes.


Après réflexion, on arrive plutôt à l'équation x^n + ... + x^2 + x + 1 = T

>> En revanche, je me demande si imposer que q (et donc x) soit un réel
>> strictement positif ne suffirait pas à ce que la solution (si elle
>> existe) soit unique.

> On va (quand même) supposer que S et Un sont positifs


Disons, au moins, que S et Un sont de même signe.

> mais par rapport à
> la question initiale, c'est une restriction assez forte...


Certes, et seul François peut nous dire si cette restriction est ou non
pertinente. Encore une fois, si q peut être un nombre complexe, alors
je ne vois pas comment éliminer la possibilité qu'il y ait n solutions.
Même dans le cas où q peut être un nombre réel négatif il me semble
envisageable qu'il y en ait plusieurs.

> Si l'on observe la fonction fn qui à x associe x^(n+1) - T.x + (T-1)
> on observe immédiatement que
> la dérivé est simple : (n+1)x^n - T
> posons xn = (T/(n+1))^(1/n)
> Mieux vaut donc supposer T>0 (S et Un de même signe)
> Si n est impair ... il y a un min unique
> fn tend vers +inf en -inf et +inf
> Cela décroit jusqu'à xn puis, ensuite ça remonte ;o)


C'est vrai, mais l'intervalle dans lequel on peut trouver des solutions est
bien plus réduit que ]-inf, +inf[. Déjà, je me suis placé dans l'hypothèse
où x est strictement positif, sinon je suis bien d'accord qu'on ne peut pas
dire grand chose. Mais en outre, il est évident que x est strictement
inférieur à T^(1/n), parce que sinon 1+x^n est déjà plus grand que T+1,
sans même y ajouter les autres puissances de x.

Connaître précisément l'intervalle où cela a un sens me semble particulièrement
difficile. Du coup, ta méthode me semble bonne, mais en partant de l'équation
plus simple, de degré n :
gn(x) = x^n + ... + x^3 + x^2 + x + 1 = T

On a :
gn'(x) = n.x^(n-1) + ... + 3.x^2 + 2.x + 1 > 0 quel que soit x > 0

Donc la fonction gn est strictement croissante sur R+, et pourvu que T
soit plus grand que 1 (ce qui semble logique), elle admet une seule
valeur x0 telle que gn(x0) = T.

> voili voilou ... ;o)


Pas mieuxi, pas mieuxou...
HB (14/01/2020, 02h42)
Le 13/01/2020 à 22:20, Olivier Miakinen a écrit :> Le 13/01/2020 20:08,
HB me répondait :
>>> [...]
>>>[...]


Nos deux infos sur la solution non triviale ( i.e. pas 1)
se complètent ;

>>> posons xn = (T/(n+1))^(1/n)
>>> (...) il y a une solution entre 0 et xn
>>> et une autre après xn


>>> x est strictement
>>> inférieur à yn = T^(1/n)


qui est égal à xn * (n+1)^(1/n)
avec un facteur proche de 1 qui décroit vers 1 !

.... yn décroit vers xn

on peut étudier un peu des cas particuliers ...

Cas "simples" : S>Un>0 ; q>0
la suite des Up est monotone positive...
T > (n+1) signifie donc que la somme
monte avec des termes qui diminuent
soit q<1
c'est à dire x0 > 1

mézalor
on a 1 < x0 < yn

de plus, 'ma' solution triviale ( donc 1 )
est avant xn et l'autre (donc x0) est après...

ainsi, finalement :
1 < xn < x0 < yn

=============================================
si q < 1

(1/T)^(1/n) < q < ((n+1)/T)^(1/n) < 1

Pour des petites valeurs de (n+1)^(1/n),
cet encadrement peut devenir précis ...
C'est à dire des grandes valeurs de n...
=============================================

en revanche , si l'on veut q>1 soit x0<1
l'ordre des solutions change
Les termes augmentent donc
T < n+1
La suite xn croit vers 1

la solution triviale est la seconde
0 < x0 < xn < 1 < yn
Ces encadrements ne donnent rien de bien valable

mais ...
....
comment choisir S , Un et n
pour imposer q > k (k>1)
on est dans le cas q > 1 donc x0 < xn

xn < 1/k entrainera x0 < 1/k

les inégalités ci-dessous procèdent par équivalence...

(T/(n+1))^(1/n) < 1/k

ln(T) / n - ln(n+1) / n < ln(1/k)

ln(T) < ln(n+1) - n*ln(k)

ln(T) < ln[ (n+1)/k^n ]

Finalement
=====================================
Soit k>1

si T < (n+1)/k^n
c'est à dire S < Un * (n+1)/k^n

alors q > k
=====================================

bref ... ;o)

HB
HB (14/01/2020, 04h22)
Re,

Pour voir un peu mieux ce qui se passe

j'ai fait un classeur google



on peut fixer S = Un

On peut faire varier n

On fait représenter U0 en fonction de q
la fourchette d'observation est réglable

On voit très bien que la parité de n joue un grand rôle...

Avec un classeur xlsm on peut automatiser des choses
mais avec googleSheet les objets et les macros s'envolent...

HB

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