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sylvie turbil (23/10/2004, 08h41)
Quel est le côté minimum du carré qui contient les cercles de rayon de
1 à N.
Pour 1 cercle, la carré est de côté 2.
Pour deux cercles de coté 1 et 2, le carré est de cote 6
Pour trois cercles (coté 1, 2 et 3), le carré de coté 10 convient
Mais les choses se compliquent assez rapidement....

Avec un raisonnement simple, on peut espérer que jusqu'a 12 la formule
4N-2 est applicable. Après, la somme des aires cercles est supérieure
au carré imposé par les deux plus grands cercles. Mais encore faut il
caser tous les autres dans les trous...

Et apres 12 ?

Quelqu'un a une idée sur la question ?
Hibernatus (23/10/2004, 11h48)
"sylvie turbil" <sylvieturbil> a écrit dans le message news:
a479b531.0410222241.60f4c0f2...
> Quel est le côté minimum du carré qui contient les cercles de rayon de
> 1 à N.
> Pour 1 cercle, la carré est de côté 2.
> Pour deux cercles de coté 1 et 2, le carré est de cote 6


Le "côté" d'un cercle ? Hum, ça sent la blahue balge, ça...

Bon, sérieux : quelques précisions sont les bienvenues :
1. Cherches-tu des carrés à côté entiers ? rationnels ? réels ?
2. Y a-t-il une contrainte sur la position des cercles (centres alignés sur
une grille, ou quelque chose comme ça ?)

Dans le cas de trois cercles, un carré de côté 5*(2+sqrt(2))/2 =~ 8,53
suffit (carré construit de sorte que le centre des cercles de rayon 2 et 3
soient sur une de ses diagonales, le cercle de rayon 1 pouvant être mis à
peu près n'importe où).

Avec 4 cercles, la même construction fonctionne en mettant toujours les deux
plus grands sur la diagonale, et on obtient un carré de côté 7*(2+sqrt(2))/2
=~ 11,95.

Pour cinq cercles, ça ne marche plus, on a besoin d'un carré de côté à peine
plus petit que 16.

Dans tous les cas, ça améliore ta formule (qui done 10, 14, 18).

> Pour trois cercles (coté 1, 2 et 3), le carré de coté 10 convient
> Mais les choses se compliquent assez rapidement....
> Avec un raisonnement simple, on peut espérer que jusqu'a 12 la formule
> 4N-2 est applicable. Après, la somme des aires cercles est supérieure
> au carré imposé par les deux plus grands cercles. Mais encore faut il
> caser tous les autres dans les trous...
> Et apres 12 ?


Eh bien, la somme des aires de tes cercles, c'est
pi*(1² + 2² + 3² + ... + N²)
= pi*N*(N+1)*(2N+1)/6
si ma mémoire ne me trompe pas, ce qui est plus grand que pi*N³/3, et le
côté de ton carré doit être supérieur à la racine carrée de ce truc. Donc
peu d'espoir d'obtenir une expression linéaire.

Remarque : sur Mathworld (htto://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html)
tu trouveras quelques réponses à un problème similaire mais qui me semble
plus simple : comment ranger dans un carré des cercles tous de même rayon.
Même là, il ne semble pas y avoir de formule générale.

Hib.
philippe 92 (23/10/2004, 14h32)
Bonjour,

Hibernatus a écrit:
> "sylvie turbil" <sylvieturbil> a écrit dans le message news:
> a479b531.0410222241.60f4c0f2...
> Bon, sérieux : quelques précisions sont les bienvenues :
> 1. Cherches-tu des carrés à côté entiers ? rationnels ? réels ?


Comme il n'y a pas de plus petit rationnel supérieur à un irrationnel
(voir la construction des réels) le problème avec côtés rationnels est
imprécis.

> 2. Y a-t-il une contrainte sur la position des cercles (centres alignés sur
> une grille, ou quelque chose comme ça ?)
> Dans le cas de trois cercles, un carré de côté 5*(2+sqrt(2))/2 =~ 8,53
> suffit (carré construit de sorte que le centre des cercles de rayon 2 et 3
> soient sur une de ses diagonales, le cercle de rayon 1 pouvant être mis à
> peu près n'importe où).


Pour préciser 3 + (3+2)/sqrt(2) + 2 = 5*(2+sqrt(2))/2
un rayon + distance des centres à 45 deg + autre rayon

Un autre empilement était aussi à considérer :
les cercles (2) et (3) tangents à un même côté soit
2 + 2*sqrt(2*3) + 3 ~ 9,899
un rayon + tangente commune + autre rayon
Là aussi, largement la place pour le cercle (1).

> Remarque : sur Mathworld (htto://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html) http:// of course. copier coller c'est plus sûr !


> tu trouveras quelques réponses à un problème similaire mais qui me semble
> plus simple : comment ranger dans un carré des cercles tous de même rayon.
> Même là, il ne semble pas y avoir de formule générale.


Comme l'empilement proposé au départ était assez aéré, ceci me renvoie à
un fil récent sur sci.maths :

Subject: Rigid configurations of unit circles in squares
From: David W. Cantrell <DWCantrell>
Date: 11 Oct 2004 15:32:04 GMT
Message-ID: <20041011113204.290$KW>
Newsgroups: sci.math

(relayé aussi sur de.sci.mathematik als
Subject: Fest eingespannte Kreise n einem Quadrat
Message-ID: <2t2t9bF1qp95gU1>)

Il s'agit de trouver le plus *grand* carré pouvant contenir
n cercles. Comme ceci est indéterminé, on impose une configuration
"rigide", c'est à dire où les cercles ne peuvent pas bouger.
Un problème intéressant...

Un lien vers un site :
<http://www.stetson.edu/~efriedma/rigid/>

Lire les fils, on y critique certains de ces arrangements.
On y donne aussi d'autres liens.
Hibernatus (23/10/2004, 15h10)
"philippe 92" <antispam> a écrit dans le message news:
417A4F41.9070008...

> > Bon, sérieux : quelques précisions sont les bienvenues :
> > 1. Cherches-tu des carrés à côté entiers ? rationnels ? réels ?

> Comme il n'y a pas de plus petit rationnel supérieur à un irrationnel
> (voir la construction des réels) le problème avec côtés rationnels est
> imprécis.


Très perspicace, tu as raison.

> > 2. Y a-t-il une contrainte sur la position des cercles (centres alignés sur
> > une grille, ou quelque chose comme ça ?)
> > Dans le cas de trois cercles, un carré de côté 5*(2+sqrt(2))/2 =~ 8,53
> > suffit (carré construit de sorte que le centre des cercles de rayon 2 et

3
> > soient sur une de ses diagonales, le cercle de rayon 1 pouvant être mis

à
> Pour préciser 3 + (3+2)/sqrt(2) + 2 = 5*(2+sqrt(2))/2
> un rayon + distance des centres à 45 deg + autre rayon
> Un autre empilement était aussi à considérer :
> les cercles (2) et (3) tangents à un même côté soit
> 2 + 2*sqrt(2*3) + 3 ~ 9,899
> un rayon + tangente commune + autre rayon
> Là aussi, largement la place pour le cercle (1).
> http:// of course. copier coller c'est plus sûr !


Oups.
sylvie turbil (23/10/2004, 16h38)
Oui je me suis mal exprimé et en plus avec une erreur...

> > Pour deux cercles de coté 1 et 2, le carré est de cote 6 Pour deux cercles de rayon 1 et 2, le carré est de cote 3 + 3*sqrt(2)/2


Sinon, il n'y a pas de contrainte spéciale sur le coté du carré.
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